یکی از زیباترین استدلالهایی که ریاضی دانان یونان پس از شناخت رابطه فیثاغورث و آشنایی با مثلث قائم الزاویه ای که دو ضلع مجاور به وتر آن بطول 1 بود انجام داده اند آن است که "رادیکال دو" (2√) یا همان ریشه دوم عدد 2 نمی تواند یک عدد گویا باشد.

استدلال آنها بسیار ساده بود در نظر می گیریم که ریشه دوم عدد 2 بصورت یک کسر گویا (2√=a/b) بیان شود. همچنین فرض می کنیم که a/b کسر ساده شده می باشد و صورت و مخرج مقسوم علیه مشترک ندارند. در آنصورت اگر طرفین معادله را در خود ضرب کنیم (یا به توان دو برسانیم) باید داشته باشیم : a²/b²=2

بنابراین خواهیم داشت که : a²=2b²

رابطه اخیر نشان می دهد که a² یک عدد زوج می باشد، بسادگی می توان نتیجه گرفت که a نیز باید عدد زوج باشد (چرا؟) ، بنابراین اگر a را بصورت 2t نمایش دهیم خواهیم داشت : 4t²=2b²

اگر معادله بالا را ساده کنیم خواهیم داشت که : b²=2t²

یعنی b هم یک عدد زوج می باشد(چرا؟) ، بنابراین a و b هر دو مقسوم علیه مشترکی مساوی 2 دارند و این مخالف فرضی است که در ابتدا انجام دادیم. بنابراین نمی توان عدد رادیکال دو را بصورت یک کسر گویا نمایش داد.

مسلمانان علم ریاضی ، خاصه جبر و مقابله را به گونه ای پیشرفت دادند که می توان گفت آنان موجد این علم می باشند.اگر اصول و مبادی علم ریاضیات قبل از اسلام در دنیا وجود داشت ، لکن مسلمین انقلابی در آن ایجاد کردند و از جمله اینکه قبل از دیگران جبر و مقابله را در هندسه بکار بردند.
جبر و مقابله تا بدانجا مورد توجه آنان بود که مأمون عباسی در قرن سوم هجری ( قرن نهم میلادی ) به ابومحمد بن موسی ، یکی از ریاضیدانهای دربار خود امر کرد کتاب سادة عام الفهمی در جبر و مقابله تآلیف نماید.
محمدبن موسی ( فوت در سال 257 یا 259 هـ. ق. ) یکی از سه برادر دانشمندی بود که به بنوموسی شهرت داشتند.در نیمةدوم قرن سوم هجری ثابت بن قره( 221-228 هـ. ق. )طبیب ،ریاضیدان و منجم حوزه علمی بغداد خدمات بسیاری را در زمینه ترجمه کتابهای علمی از زبانهای سریانی و یونانی به زبان عربی انجام داد.
وی دارالترجمه ای تأسیس کرد که بسیاری از دانشمندان آشنا به زبانهای خارجی در آن کار میکردند. در این دارالترجمه بسیاری از آثار یونانیان نظیر آپولونیوس ، اقلیدس ، ارشمیدس ، تئودوسیوس ، بطلمیوس ، جالینوس و ائوتوکیوس به وسیله او یا تحت سرپرستی وی به عربی ترجمه شد.
ابو حفض یا ابوالفتح الدین عمر بن ابراهیم نیشابوری مشهور به خیام نیشابوری از برجسته ترین حکما و ریاضی دانان جهان در سال 329 ه.ق در نیشابور به دنیا آمد .خیام کمتر می نوشت و شاگرد می پذیرفت ، وی برای کسب دانش به خراسان و عراق نیز سفر کرد . به واسطه تبحر و دانش عظیمی که در ریاضیات و نجوم داشت ، از سوی ملکشاه سلجوقی فراخوانده شد، ملکشاه به او احترام می گذاشت و خیام نزد او قرب و منزلت ویژه ای داشت . او بنا به خواست ملکشاه در ساخت رصدخانه ملکشاهی و اصلاح تقویم با سایر دانشمندان همکاری داشت . حاصل کارش در این زمینه تقویم جلالی آن است که هنوز اعتبار و رواج دارد و تقویم او از تقویم گریگور یابی دقیق تر است .
یکی دیگر از دانشمندان اسلامی که تحولی عظیم در علم ریاضی پدید آورد ابوعبدالله محمدبن موسی خوارزمی( متوفی 232 هـ. ق. ) است.این ریاضیدان ، منجم، جغرافیدان و مورخ ایرانی یکی از منجمین دربار مأمون خلیفه بود. وی در بیت الحکمه مشغول کار بود.
بیت الحکمه مؤسسه علمی معروفی بود که مأمون خلیفة عباسی ( 198-218 هـ. ق. ) به تقلید از دارالعلم قدیم جندیشاپور در بغداد تأسیس کرد. ظاهراً فعالیت عمدة این مرکز ترجمة آثار علمی و فلسفی یونانی به عربی بود. عده ای از مترجمان برجسته و نیز کاتبان و صحافان در آنجا کار می کردند. کتابخانه ای که بدین طریق فراهم آمد و عنوان خزانه الحکمه داشت از زمان هارون الرشید و برامکه سابقه داشت.
از مؤسسات وابسته به بیت الحکمه رصدخانه ای در بغداد و رصدخانه ای در دمشق بود که منجمین و ریاضیدانان اسلامی در آنجا به رصد کواکب و فراهم کردن زیجها (جداولی که از روی آن به حرکت اجرای سماوی پی می برند) اشتغال داشتند.
درباره اهمیت و ارزش آثار خوارزمی چنین آورده اند:
« خوارزمی درخشانترین چهره در میان دانشمندانی بود که در دربار مأمون گرد هم آمده بودند. او کتب و آثاری را در علوم جغرافیا و نجوم تدوین نمود که سیصد سال بعد به وسیله آتل هارت انگلیسی به لاتین ترجمه و در اختیار علمای اروپا قرار گرفت.
ولی دو اثر او در ریاضیات نام او را جاودانی ساختند. یکی از آنها حل المسائل علمی ، برای زندگی عملی، با عنوان جبر و مقابله بود. مترجمی که در قرون وسطی این اثر را برگرداند نیز همان نام عربی را برای آن برگزید و اولین کلمة عنوان کتاب یعنی « الجبر» را برای همیشه در ریاضیات تحت عنوان Algebra به جای ماند ( گذاشت ).
دومین اثر خوارزمی که نامش را جاودان ساخت ، همان کتاب آموزشی فن محاسبه بود که در آن طریقة استفاده از اعداد هندی را می آموخت. نوشتن اعداد ، جمع و تفریق ، نصف کردن و دو برابر کردن ، ضرب، تقسیم و محاسبات کسری. این کتابچه نیز به اسپانیا آورده و در اوایل قرن دوازدهم میلادی به لاتین برگردانده شد. ترجمة آن از عربی به لاتین با این جمله آغاز می گردد: «چنین گفت الگوریتمی ( خوارزمی ) ، بگذار خدا را شکر گوییم، سرور و حامی ما.»
Dixit algorithmi : lavdes deo rectori nostri atque defensori dicamus dignos
از دیگر دانشمندان اسلامی که در رشد دانش ریاضی بسیار مؤثر بودند می توان از ابوالوفای بوزجانی( 328-388 هـ. ق. ) نام برد.

در يونان قديم ، گروهي از مردم ، بيشتر وقتشان را صرف مطالعه ي اعداد و شكل ها مي كردند و موهومات و خرافات فراواني در مورد عددها و شكل ها براي خود مي ساختند. آن ها معتقد بودند كه اساس هستي از چهار عنصر آتش ،خاك،باد و آب تشكيل شده است. در اين تفكر،چهاروجهي ،شش وجهي ،هشت وجهي و بيست وجهي هر كدام نشانه ي يكي از عنصرها بودند. دوازده وجهي هم به طرزي ناشناخته ، با كل هستي ارتباط داشت . فيثاغورس ، اولين كسي بود كه روي اين حجم ها كار كرد ولي چون اين نظرها در كتاب افلاطون آمده است به نام اجسام افلاطوني مشهور شده اند . اين حجم ها آن قدر جالب بودند كه از زمان افلاطون تا رنسانس (نوزايي) مورد بررسي و تجزيه و تحليل قرار مي گرفته اند . مثلث عروس چيست ؟ هزاران سال پيش ، مصريان در سرزمين باستاني خود كه مهد تمدن بود ؛ در كنار رود نيل ، كشاورزي مي كردند . آن ها كاخ هاي عظيمي در اين سرزمين ساخته اند . آيا اهرام مصر را ديده ايد؟ آيا مي دانيد مصريان باستان ، چگونه گوشه هاي اين بناهاي عظيم را قائمه ساخته اند؟ آيا باور مي كنيد كه آن ها اين كار را به كمك يك ريسمان انجام داده باشند؟ مصريان با 11 گره، ريسمان را به 12 قسمت برابر تقسيم مي كردند. دو سر ريسمان را به هم گره ميزدند. در محلي كه مي خواستند زاويه ي قائمه بسازند، يك ميخ مي كوبيدند. يك گره ريسمان را به پشت اين ميخ مي انداختند، سپس سه گره مي شمردند و ريسمان را مي كشيدند تا صاف شود. گره سوم را با ميخ به زمين ثابت مي كردند. دوباره سراغ گوشه ي زمين مي رفتند؛ اين بارچهار گره از طرف ديگر مي شمردند. ريسمان را صاف مي كردند و گره چهارم را به زمين ثابت مي كردند. كاري كه مصريان باستان انجام مي دادند، در اصل ، ساختن يك مثلث بود. طول ريسمان در دو طرف گوشه ي زمين، سه قسمت و چهار قسمت و در مقابل پنج قسمت بود. امروزه ما ميدانيم مثلثي كه اضلاع 3و4و5 داشته باشد، طبق عكس رابطه ي فيثاغورس ، مثلث قائم الزاويه است. در گذشته اين مثلث، به مثلث عروس معروف بوده است. تاريخچه ي عدد p : عدد p (پي) سرگذشتي حداقل 3700 ساله دارد. پي يكي از مشهور ترين عددها در دنياي رياضي است. و نماد p يكي از حروف الفباي لاتين است.ساده ترين و بهترين راه معرفي p اين است : قطر دايره/محيط دايره = p در طول اين 37 قرن، دانشمندان زيادي سعي كردند مقدار p را حساب كنند. به عبارت ديگر آن ها سعي كردند تا نزديك ترين عدد به عدد p را به دست آورند. قديمي ترين محاسبه ي به دست آمده، به 1700 سال پيش از ميلاد مسيح (ع) ، يعني حدود 3700 سال پيش مربوط مي شود. اين محاسبات روي پاپيروسي نوشته شده است كه در حال حاضر، در "مسكو" نگهداري مي شود. اولين محاسبه ي رياضي p ، توسط ارشميدس و با كمك چند ضلعي ها انجام شد. او با 96 ضلعي منتظم، عدد پي را بين دو كسر 70/10 ‚3 و71/10 ‚3 به دست آورد .(تذكر:علامت / نشانه ي خط كسري است). "لودلف وان كولن" آلماني ، در قرن هفدهم به كمك 720 ‚254 ‚212 ‚32 ضلعي منتظم، مقدار p را تا 32 رقم اعشار حساب كرد. "غياث الدين جمشيد كاشاني" معروف به "الكاشي" در كتاب رساله ي محيطيه، p را تا 17 رقم پس از مميز حساب كرده است. "بهاسيك هندي" در سال 1150 ميلادي، آن را به صورت كسر 7/22 يا جذر 10 نشان داده است. "جان وايس" رياضي دان انگليسي براي p ، نسبت زير را پيشنهاد كرد: (...×5×5×3×3×1×1 ) / (...×6×6×4×4×2×2) = 2/p "لايپ نيتس " آلماني به عبارت زير دست يافت : ...+۱/۱۱-۱/۹+۱/۷-۱/۵+۱/۳-۱=۴/p در سال 1949 ميلادي، به كمك رايانه ي اينياك ، پي تا 2037 رقم محاسبه شد. به تازگي برادران "چودنوفسكي" با بيش از پنج سال كار مداوم به كمك رايانه، p را تا 1011196691 رقم اعشار حساب كرده اند . اگر مي خواهيد عدد p را تا ده رقم اعشار به خاطر بسپاريد تعداد حروف كلمات، در بيت دوم اين شعر به شما كمك خواهد كرد : گر كسي از تو بپرسد ره آموختن p پاسخي ده كه هنرمند تو را آموزد خرد و دانش و آگاهي دانشمندان ره سرمنزل مقصود بما آموزد ۳ . ۱ ۴ ۱ ۵ ۹ ۲ ۶ ۵ ۳ ۵ =۳/۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵

به نام مهربان جاويد با سلام به حضور دوستان براي ايجاد انگيزه در درس مضرب ها من معمولا كلاس را با يك يازي با بچه ها شروع مي كنم . از دوستان و همكاران عزيز خواهش مي كنم كه در مورد اين روش نظر بدهند و معايب و مزاياي اون رو بفرمايند . دانش آموزان عزيزم قبل از اين كه امروز درس بدهم مي خوام اول با هم يه بازي قشنگ رو انجام بديم ( اين جمله موجب مي شه دانش آموز ذهنش به سمت بازي بره و در حين بازي درس رو بفهمه ) بازي هپ هپ به بچه ها توضيح مي دهيم كه شماره ي هر كسي به جدول ضرب 5 رسيد بايد بگه هپ .از خودم شروع مي كنم 1، نفر بعد مي گه 2 ،نفر بعد 3 و ... نفر پنجم مي گه هپ ( اگه نگفت خب بازنده است ) خلاصه بازي ادامه پيدا مي كنه تا نفر دهم كه مي گه هپ و پانزدهم هپ ... حالا ميگم آن گروهي كه هپ شدند دستاشون بالا برند و بگن عدد هاشون چند بود من داخل آكلاد پاي تابلو بنويسم . بعد با همين روش ميرويم سراغ مضرب هاي 2 و بعد 3 و .... و الان پاي تابلو مجموعه مضرب هاي 5 و 2 و .... نوشتيم حالا به اونها مي گيم كه مجموعه ها رو نگاه كنند ببينند چه اتفاقي افتاده كه خودشون به راحتي ( حتي بچه ي ضعيف كلاس ) جواب مي دهند كه مثلا 5 رو در اعداد طبيعي ضرب كرديم تا اين گروه به دست اومده . خلاصه بعد راجع به وي‍‍‍‍‍‍زگي هاي مضرب ها حرف مي زنيم كه مثلا ؛ دوستان عزيزم ما تا چه عددي مي تونيم اين بازي رو ادامه بديم كه براحتي جواب ميدن هرچه چقدر بخواهيم مي تونيم جلو بريم يعني انتها نداره . بعد از يكي مي خوام كه مجموعه ي مقسوم عليه هاي همان اعدادي كه پاي تابلو نوشته شده رو بگه تا من بنويسم بعد ازشون مي خوام كه ( حالا، دختر خوب ، قيافه ي رياضيدانها رو به خودت بگير يعني خوب با دقت به سئوال من توجه كن و در موردش فكر كن و با دقت جواب بده )فرق مجموعه ي مقسوم عليه ها و مجموعه ي مضرب هاي يك عدد در چيه هست ؟ و به اين ترتيب دانش آموز تفاوت اونها رو احساس مي كنه و احتمالا خيلي دير يادش مي ره .

توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه n بار در خود ضرب می‌شود:

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

ادامه ی مطلب ...

همه چیز در مورد ریاضیات راهنمایی

کل بازدید ها 1779
بازدید های امروز 0
بازدید های دیروز 1
بازدید های هفته 26
بازدید های ماه 26